帽子のパズル

パズル好きの人のために、もう一つ。帽子のパズルとはいっても、一番有名な問題とは違うから、何だあれかとスキップしないように。これも実は有名な問題なんだけど、日本のサイトをググルと意外に出てこないのでびっくりした。まあ、一部の数学者は知ってるはずだが。純粋に知的な意味ではモンティ・ホールよりもディープなので、心してかかってくれ。

さて、ここに３人の死刑囚がいる。それぞれの頭上には赤か青の帽子がかぶせられる。どちらの色の帽子になるかは、コインを投げて一人ずつ決められる。それぞれの死刑囚は、自分の帽子の色を見ることはできないが、ほかの２人の帽子の色を見ることができる。帽子がかぶせられた後、看守はそれぞれの死刑囚に「お前の帽子の色はなんだ」と聞く。彼らは自分の帽子の色を当てるか、あるいは解答をパスすることができる。ただし、自分が答える前に他の死刑囚たちの返答を聞くことはできない。そして、誰も間違えずに、かつ誰かが正解したときにのみ、３人の死刑執行は停止される。それ以外の場合は、この３人はあの世行きである。

一度コインが投げられると、もう死刑囚達は何もコミュニケートすることができない。ただし、その前に彼らは共同して戦略を練ることができる。（例えば、「AはBとCが赤なら、青という」など）。彼らはそのような事前に決められた戦略に従うとして、どのような戦略が彼らにとってベストか。

ヒント：　５０％で助かるのは簡単。問題は、どうやって助かる確率を５０％以上まで持っていくかにある。最適な戦略はシンプルだが、それが最適であることを示すのは難しいかも。