オークションの問題２

リンク先に解答があるんだが、一応簡略な解答を。賞品を獲得した人が、相手の入札額の2倍を払う、というのが答え。

何故か？相手の入札額をｂ、自分の評価額をｖとする。この支払いルールに従うと、自分の利得は、（ｂとｖ以外には）自分が買ったか負けたかにしか依存しない。言い直すと、自分の利得は自分の入札額自体には依存しない。だから起こる事象は次の二通りしかない。

勝ち：ｖ−２ｂ　負け：−ｂ

この二つの数をよーく見てみると、勝つ方が利得が高いのと、ｖがｂより大きいことが同値になっていることが分かる。よって、自分の入札額をｖにしておけば、勝つ方が利得が高いときに、そしてそのときにのみ、勝つようになるというわけ。つまり、自分の評価額自体を入札額にすることで、相手の入札額ｂに関わらず、最適な結果を得ることが出来るわけだ。

しかしこれは、理不尽なオークションである。このオークションで参加者が利益を出すためには、自分の評価額が相手の評価額の二倍以上なくてはいけない。だから、参加が強制になるわけだ。もし参加が強制でなければ、自分の評価額が低すぎる人はオークションに参加することを見合わせるだろう。すると、それらの低い評価額の人たちが参加していれば参加していたかもしれない、中程度の評価額の人たちも、参加することを見合わせることになる、...以下同様....　となって、誰もこのオークションに参加する人はいなくなってしまう。